逻辑学核心内容简介

1. 基本概念

命题：命题是可以判断真假的陈述。例如，“天空是蓝色的”是一个命题，因为它可以是真或假。
逻辑联结词：逻辑联结词用于构造复杂命题，包括“和”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）、“如果...那么...”（→）、“当且仅当”（↔）等。
命题逻辑：研究命题及其组合方式的逻辑系统，主要处理命题之间的关系和组合。

2. 命题逻辑

逻辑运算：
- 合取（∧）：两个命题都为真时，合取命题为真。
- 析取（∨）：至少一个命题为真时，析取命题为真。
- 否定（¬）：原命题为假时，否定命题为真。
- 条件（→）：如果前件为真且后件为假，条件命题为假；其他情况为真。
- 双条件（↔）：两个命题相同真值时，双条件命题为真。
真值表：通过列举所有可能的命题组合及其真值来分析复杂命题的真值。
有效性和逻辑蕴涵：推理是有效的，如果所有前提为真时，结论必然为真。逻辑蕴涵表示在前提为真时，结论必然为真。

3. 谓词逻辑

谓词和量词：
- 谓词：表示命题的性质或关系，如 P(x)表示 x 是素数。
- 量词：表示命题的范围，包括“全称量词”（∀）表示“所有”，“存在量词”（∃）表示“存在”。
量化推理：涉及量词的推理，如从“所有鸟会飞”和“企鹅是鸟”推导出“企鹅会飞”。

4. 推理规则

演绎推理：从一般性前提推导出具体结论，如三段论：“所有人都会死；苏格拉底是人；因此，苏格拉底会死。”
归纳推理：从具体例子推导出一般性结论，如“所有观察到的天鹅都是白的；因此，所有天鹅都是白的。”
类比推理：根据事物之间的相似性进行推理，如“地球有生命，火星与地球相似；因此，火星可能有生命。”

5. 逻辑谬误

形式谬误：推理形式上的错误，如“否定前件”（如果 P 则 Q；¬P；因此，¬Q）和“肯定后件”（如果 P 则 Q；Q；因此，P）。
非形式谬误：内容上的错误或语言表达上的误导，如“诉诸权威”（某权威说 X 为真，因此 X 为真）和“人身攻击”（攻击论证者而非论点）。

6. 证明方法

直接证明：直接从前提推导出结论。
间接证明（反证法）：假设结论为假，推导出矛盾，从而证明结论为真。
归纳法：从有限的观察中推导出一般结论。

7. 模态逻辑

可能性和必然性：研究涉及可能性（◇）和必然性（□）的命题逻辑，如“可能的”和“必须的”。
模态运算：涉及模态运算的推理和证明，如“可能是”与“必然是”的关系。

8. 多值逻辑

超越二值：研究多于两个真值的逻辑系统，如三值逻辑或模糊逻辑。
真值扩展：对传统真值（真/假）的扩展，如“可能真”、“不确定”等。

9. 集合理论

集合及其运算：集合是逻辑学中的基本概念，用于表示对象的集群。基本运算包括并集（∪）、交集（∩）和补集（¬）。
集合的性质：探讨集合的基本性质及其在逻辑推理中的应用。

10. 自动推理和逻辑编程

自动推理：利用计算机程序实现逻辑推理过程，如定理证明和问题求解。
逻辑编程：编程范式中的一种，基于逻辑推理进行程序设计，如 Prolog 语言。