经典逻辑
一、三段论（传统逻辑，词项逻辑）
概述
三段论是由古希腊哲学家亚里士多德创立的一种逻辑推理方法。它是经典逻辑中最早和最基本的形式之一，用于从已知前提得出结论。三段论包含三个部分：大前提、小前提和结论。
结构
- 大前提：一个普遍的陈述，例如 "所有人都会死"。
- 小前提：一个特定的陈述，例如 "苏格拉底是人"。
- 结论：从大前提和小前提得出的推论，例如 "苏格拉底会死"。
示例
- 所有人都是必死的。（大前提）
- 苏格拉底是人。（小前提）
- 苏格拉底是必死的。（结论）
其他示例
- 示例 1
- 大前提：所有的哺乳动物都有脊椎。
- 小前提：鲸鱼是哺乳动物。
- 结论：鲸鱼有脊椎。
- 示例 2
- 大前提：所有的鸟都会飞。
- 小前提：企鹅是鸟。
- 结论：企鹅会飞。 （注意：此结论错误，说明前提可能不完全准确，实际中需要验证前提的真实性）
二、布尔逻辑
概述
布尔逻辑由乔治·布尔在 19 世纪中叶发展起来，是一种基于二值（真和假）的逻辑系统。布尔逻辑是计算机科学和电子工程的基础，被广泛应用于数字电路设计和编程语言。
基本运算
- 与（AND）：两个命题同时为真，结果为真。
- 或（OR）：两个命题至少有一个为真，结果为真。
- 非（NOT）：对命题取反，真变假，假变真。
示例
- 与（AND）：A ∧ B
- A 和 B 都为真时，A ∧ B 为真。例如，A: "今天是周一"，B: "今天是晴天"。如果今天是周一且是晴天，A ∧ B 为真。
- 或（OR）：A ∨ B
- A 或 B 有一个为真时，A ∨ B 为真。例如，A: "今天是周一"，B: "今天是晴天"。如果今天是周一或是晴天，A ∨ B 为真。
- 非（NOT）：¬A
- A 为真时，¬A 为假；A 为假时，¬A 为真。例如，A: "今天是周一"。如果今天不是周一，¬A 为真。
其他示例
与（AND）：
- A: "灯是开的"
- B: "门是锁的"
- A ∧ B: "灯是开的并且门是锁的"
或（OR）：
- A: "灯是开的"
- B: "门是锁的"
- A ∨ B: "灯是开的或者门是锁的"
非（NOT）：
- A: "灯是开的"
- ¬A: "灯是关的"
三、命题逻辑
概述
命题逻辑是研究命题之间逻辑关系的逻辑系统。命题逻辑中的命题是具有真值（真或假）的陈述，主要关注命题如何通过逻辑连接词组合成更复杂的命题。
基本连接词
- 合取（∧）：类似于布尔逻辑中的“与”。
- 析取（∨）：类似于布尔逻辑中的“或”。
- 否定（¬）：类似于布尔逻辑中的“非”。
- 条件（→）：如果...那么...。
- 双条件（↔）：当且仅当。
示例
合取（AND）：P ∧ Q
- P: "今天下雨"
- Q: "我带伞了"
- P ∧ Q: "今天下雨并且我带伞了"
析取（OR）：P ∨ Q
- P: "今天下雨"
- Q: "我带伞了"
- P ∨ Q: "今天下雨或者我带伞了"
否定（NOT）：¬P
- P: "今天下雨"
- ¬P: "今天没下雨"
条件（IF-THEN）：P → Q
- P: "今天下雨"
- Q: "我带伞了"
- P → Q: "如果今天下雨，那么我带伞了"
双条件（IFF）：P ↔ Q
- P: "今天下雨"
- Q: "我带伞了"
- P ↔ Q: "今天下雨当且仅当我带伞了"
四、一阶逻辑（谓词逻辑）
概述
一阶逻辑扩展了命题逻辑的表达能力，能够表示对象及其属性，以及对象之间的关系。一阶逻辑引入了量词，如“所有”和“存在”，用于描述更复杂的逻辑结构。
主要元素
- 谓词：表示属性或关系，例如 P(x) 表示 x 具有属性 P。
- 变量：表示对象，例如 x, y。
- 量词：包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。
- 全称量词（∀）：表示所有，例如 ∀x P(x) 表示对所有 x，都具有属性 P。
- 存在量词（∃）：表示存在，例如 ∃x P(x) 表示存在某个 x，使得 P(x) 为真。
示例
- 全称量词：∀x (人(x) → 必死(x))
- 对所有 x，如果 x 是人，那么 x 是必死的。
- 存在量词：∃x (人(x) ∧ 医生(x))
- 存在某个 x，x 是人且是医生。
其他示例
全称量词：
- ∀x (猫(x) → 哺乳动物(x))
- 对所有 x，如果 x 是猫，那么 x 是哺乳动物。
- ∀x (猫(x) → 哺乳动物(x))
存在量词：
- ∃x (鸟(x) ∧ 会飞(x))
- 存在某个 x，x 是鸟且会飞。
- ∃x (鸟(x) ∧ 会飞(x))
复杂表达：
- ∀x (学生(x) → ∃y (老师(y) ∧ 教授(y, x)))
- 对所有 x，如果 x 是学生，那么存在某个 y，y 是老师且教授 y 教授 x。
- ∀x (学生(x) → ∃y (老师(y) ∧ 教授(y, x)))